Tài liệu Giáo viên
Lớp 2Lớp 2 - kết nối tri thức
Lớp 2 - Chân trời sáng tạo
Lớp 2 - Cánh diều
Tài liệu Giáo viên
Lớp 3Lớp 3 - kết nối tri thức
Lớp 3 - Chân trời sáng sủa tạo
Lớp 3 - Cánh diều
Tiếng Anh lớp 3
Tài liệu Giáo viên
Lớp 4Lớp 4 - liên kết tri thức
Lớp 4 - Chân trời sáng tạo
Lớp 4 - Cánh diều
Tiếng Anh lớp 4
Tài liệu Giáo viên
Lớp 5Lớp 5 - kết nối tri thức
Lớp 5 - Chân trời sáng tạo
Lớp 5 - Cánh diều
Tiếng Anh lớp 5
Tài liệu Giáo viên
Lớp 6Lớp 6 - liên kết tri thức
Lớp 6 - Chân trời sáng sủa tạo
Lớp 6 - Cánh diều
Tiếng Anh 6
Tài liệu Giáo viên
Lớp 7Lớp 7 - kết nối tri thức
Lớp 7 - Chân trời sáng tạo
Lớp 7 - Cánh diều
Tiếng Anh
Tài liệu Giáo viên
Lớp 8Lớp 8 - liên kết tri thức
Lớp 8 - Chân trời sáng sủa tạo
Lớp 8 - Cánh diều
Tiếng Anh
Tài liệu Giáo viên
Lớp 9Lớp 9 - kết nối tri thức
Lớp 9 - Chân trời sáng sủa tạo
Lớp 9 - Cánh diều
Tiếng Anh
Tài liệu Giáo viên
Lớp 10Lớp 10 - liên kết tri thức
Lớp 10 - Chân trời sáng tạo
Lớp 10 - Cánh diều
Tiếng Anh
Tài liệu Giáo viên
Lớp 11Lớp 11 - liên kết tri thức
Lớp 11 - Chân trời sáng sủa tạo
Lớp 11 - Cánh diều
Tiếng Anh
Tài liệu Giáo viên
Lớp 12Lớp 12 - kết nối tri thức
Lớp 12 - Chân trời sáng sủa tạo
Lớp 12 - Cánh diều
Tiếng Anh
Tài liệu Giáo viên
cô giáoLớp 1
Lớp 2
Lớp 3
Lớp 4
Lớp 5
Lớp 6
Lớp 7
Lớp 8
Lớp 9
Lớp 10
Lớp 11
Lớp 12
A. NỘI DUNG ÔN TẬP
Đại số
1. Những phép toán cộng, trừ, nhân, phân chia đa thức nhiều biến2. Hằng đẳng thức xứng đáng nhớ; phân tích đa thức thành nhân tử- các hằng đẳng thức đáng nhớ
(eginarrayl1.left( A + B ight)^2 = A^2 + 2AB + B^2\2.left( A - B ight)^2 = A^2 - 2AB + B^2\3.A^2 - B^2 = left( A - B ight)left( A + B ight)\4.left( A + B ight)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3\5.left( A - B^3 ight) = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3\6.A^3 + B^3 = left( A + B ight)left( A^2 - AB + B^2 ight)\7.A^3 - B^3 = left( A - B ight)left( A^2 + AB + B^2 ight)endarray)
- Phân tích nhiều thức thành nhân tử
3. Phân thức đại số, những phép toán với phân thức đại số- Phân thức đại số
- Cộng, trừ phân thức
- Nhân, chia phân thức
Hình học
1. Hình chóp đều- Hình chóp tam giác đông đảo – tứ giác đều
- diện tích s xung quanh, thể tích hình chóp tam giác đầy đủ – tứ giác đều
2. Định lí Pythagore3. Tứ giác: các định nghĩa, tính chất và tín hiệu nhận biết- Tứ giác
- Hình thang – Hình thang cân
- Hình bình hành – Hình thoi
- Hình chữ nhật - Hình vuông
Dữ liệu – biểu đồ
- tích lũy và phân các loại dữ liệu
- lựa chọn dạng biểu đồ để biểu diễn
- phân tích dữ liệu
B. BÀI TẬP
Đề bài
I. Phần trắc nghiệmCâu 1: Kết quả phân tích nhiều thức (4x^2 - 9) thành đa thức là:
A. (left( 2x - 3
ight)left( 2x + 3
ight)). Bạn đang xem: Những bài toán hình lớp 8 hk1
B. (left( 2x - 9 ight)left( 2x + 9 ight)).
C. (left( 4x - 3 ight)left( 4x + 3 ight)).
D. (left( 4x - 9 ight)left( 4x + 9 ight)).
Câu 2: Thực hiện tại phép phân chia đa thức (x^3 + 1) mang lại đa thức (x^2 - x + 1) ta được số dư là:
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 3: Điều kiện khẳng định của phân thức (fracxleft( x - 3 ight)x^2 - 9) là:
A. (x e 3).
B. (x e 0;x e 3).
C. (x e pm 3).
D. (x e 0).
Câu 4: Rút gọn phân thức (frac2x - 2yx - y) ta được công dụng là :
A. (x - y).
B. (2x).
C. (2).
D. (2left( x - y ight)).
Câu 5: Phép tính (M - frac2x - 15 - x) không chuyển đổi được thành:
A. (M - frac1 - 2xx - 5).
B. (M + frac2x - 1x - 5).
C. (M - frac1 - 2x5 - x).
D. (M + frac1 - 2x5 - x).
Câu 6: Kết quả của phép tính (frac4x + 17x^2 - frac1 - 3x7x^2) bằng :
A. (frac17x).
B. (frac7x - 27x^2).
C. (frac7x).
D. (frac1x).
Câu 7: Kết trái rút gọn gàng phân thức (frac14xy^5left( 2x - 3y ight)21x^2yleft( 2x - 3y ight)^2) là:
A. (frac2y^43xleft( 2x - 3y ight)).
B. (2y^4).
C. (3xleft( 2x - 3y ight)).
D. (frac3xleft( 2x - 3y ight)2y^4).
Câu 8: Giá trị của x để cực hiếm phân thức (frac5x - 2x^2 + 2x + 1) bằng 0 là :
A. (x = 0).
B. (x = frac25).
C. (x = frac52).
D. (x = - 1).
Câu 9: Hình bình hành là tứ giác có
A. hai cạnh tuy nhiên song.
B. các cạnh đối tuy vậy song.
C. các góc bằng nhau.
D. các góc đối bù nhau.
Câu 10: Hai đường chéo của hình chữ nhật
A. song tuy vậy với nhau.
B. bằng nhau.
C. vuông góc với nhau.
D. là các đường phân giác của các góc.
Câu 11: Một tứ giác là hình vuông vắn nếu nó
A. có bố góc vuông.
B. là hình thoi tất cả một góc vuông.
C. là hình bình hành gồm một góc vuông.
D. là hình thang bao gồm hai góc vuông.
Câu 12: Hình thang cân nặng là hình thang
A. có hai kề bên bằng nhau.
B. có nhì cạnh đáy bởi nhau.
C. có nhì góc kề một ở bên cạnh bù nhau.
D. có nhì góc kề một đáy bởi nhau.
Câu 13: Khẳng định như thế nào sau đây là sai?
A. Hình thang cân gồm một góc vuông là hình chữ nhật.
B. Hình bình hành gồm hai đường chéo cánh bằng nhau là hình chữ nhật.
C. Hình bình hành bao gồm hai đường chéo cánh vuông góc với nhau là hình chữ nhật.
D. Tứ giác có bốn góc bằng nhau là hình chữ nhật.
Câu 14: Cho tam giác ABC có AM là mặt đường trung tuyến, ta có:
A. (S_Delta ABM = 2S_Delta ABC).
B. (S_Delta ABM = S_Delta ABC).
C. (S_Delta AMC = 2S_Delta ABC).
D. (S_Delta ABC = 2S_Delta ABM).
Câu 15: Cho tam giác ABC, qua điểm D thuộc cạnh BC, kẻ những đường thẳng tuy nhiên song với AB với AC, giảm AC với AB theo sản phẩm tự trên E cùng F. Tam giác ABC đề xuất thêm điều kiện gì nhằm AEDF là hình chữ nhật?
A. cân tại A.
B. vuông tại A.
C. (widehat B = 60^o).
D. (widehat B = 30^0).
Câu 16: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của BC. Qua D kẻ các đường thẳng tuy vậy song với AB và AC, giảm AC với AB theo thứ tự nghỉ ngơi E và F. Tam giác ABC phải thêm đk gì nhằm AEDF là hình vuông?
A. cân trên A.
B. vuông tại A.
C. vuông cân nặng tại A.
D. (widehat A = 60^0).
Câu 17: Hình bình hành phải thêm điều kiện gì để đổi mới hình vuông?
A. Hai đường chéo bằng nhau.
B. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
C. Hai cạnh kề bởi nhau.
D. Có một góc vuông với hai đường chéo cánh vuông góc cùng với nhau.
Câu 18: Cho tam giác ABC có bố đường trung tuyến AI, BD, CE đồng quy tại G. Gọi M với N thứu tự là trung điểm của GC cùng GB. Lúc đó tứ giác MNED là hình gì?
A. Hình chữ nhật.
B. Hình bình hành.
C. Hình thang cân.
D. Hình thang vuông.
Câu 19: Cho hình chóp tam giác đều phải sở hữu độ lâu năm cạnh đáy là 7cm, độ nhiều năm trung đoạn của hình chóp là 8cm. Diện tích s xung quanh của hình chóp tam giác hồ hết đó là:
A. (44cm^2).
B. (84cm^2).
C. (45cm^2).
D. (50cm^2).
Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD tất cả đáy ABCD là hình vuông vắn cạnh bởi 4cm, chiều cao của hình chóp là h = 3cm. Thể tích của hình chóp đã cho là:
A. (16cm^3).
B. (12cm^3).
C. (8cm^3).
D. (6cm^3).
Câu 21: Tam giác tất cả độ dài ba cạnh trong trường thích hợp nào sau đấy là tam giác vuông?
A. 10cm; 11cm; 9cm.
B. 13cm; 8cm; 6cm.
C. 6cm; 10cm; 8cm.
D. 6cm; 11cm; 12cm.
Câu 22: Cho tam giác ABC vuông tại A tất cả AB = 20cm, AC = 21cm. Độ dài cạnh BC là:
A. 21cm.
B. 39cm.
C. 29cm.
D. 26cm.
Câu 23: Một chiếc ti vi screen phẳng 32 inch cùng với chiều ngang màn hình là 70cm. Tính độ cao của screen ti vi đó, có tác dụng tròn đến số thập phân thứ nhất (biết 1 inch ( approx ) 2,54 cm).
A. 7,9cm.
B. 41.3cm.
C. 107,3cm.
D. 77cm.
Câu 24: Cho hình thoi ABCD tất cả chu vi bởi 40 cm, đường chéo cánh AC bằng 12 cm. Độ nhiều năm đường chéo BD là:
A. 4cm.
B. 8cm.
C. 16cm.
D. 32m.
Câu 25: Trong những dữ liệu sau tài liệu nào là dữ liệu định tính?
A. Số huy chương vàng mà các động viên đã đạt được.
B. Danh sách các động viên tham gia Olympic 2021: Nguyễn Văn Hoàng,……
C. Số học viên nữ của các tổ trong lớp 7A.
D. Năm sinh của các thành viên trong mái ấm gia đình em.
Câu 26: Cho bảng thống kê về tỉ số xác suất các một số loại sách trong tủ sách của lớp 8A như sau:
Cho những phát biểu sau:
(I) dữ liệu định lượng là các loại sách lịch sử vẻ vang Việt Nam, Truyện tranh, nhân loại động vật, những loại sách khác;
(II) tài liệu đinh tính là tỉ số phần trăm: 25%; 20%; 30%; 25%;
(III) tài liệu chưa phù hợp là tỉ số phần trăm.
Số phát biểu sai là:
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 27: Biểu đồ vật hình quạt tròn biểu diễn hiệu quả thống kê (tính theo tỉ số phần trăm) các thị trường cung ứng cà phê mang đến Tây Ban Nha vào 7 tháng đầu xuân năm mới 2022.
a) thị trường nào cung cấp cà phê cho Tây Ban Nha là các nhất?
A. Việt Nam.
B. Đức.
C. Braxin.
D. thị trường khác.
b) thị phần Việt Nam hỗ trợ cà phê mang đến Tây Ban Nha vào 7 tháng đầu năm mới 2022 gấp khoảng mấy lần thị phần Indonexia?
A. 5,5 lần.
B. 4 lần.
C. 3,2 lần.
D. Kết quả khác.
Câu 28: Biểu thiết bị cột ở mẫu vẽ bên màn biểu diễn tỉ lệ về giá trị dành được của tài nguyên xuất khẩu quốc tế của nước ta (tính theo tỉ số phần trăm).
a) chắt lọc biểu đồ dùng nào nhằm biểu diễn những dữ liệu thống kê tất cả trong biểu đồ gia dụng cột sinh hoạt hình bên?
A. Biểu đồ gia dụng hình quạt tròn.
B. Biểu vật dụng cột kép.
C. Biểu vật cột.
D. A; B; C đông đảo đúng.
b) Loại khoáng sản nào bao gồm tỉ lệ về giá trị xuất khẩu nước ngoài cao nhất?
A. Dầu.
B. Than đá.
C. Sắt.
D. Vàng.
c) phụ thuộc biểu đồ cho thấy dữ liệu làm sao là dữ liệu định tính?
A. các loại khoáng sản: Dầu, Than đá, Sắt, Vàng.
B. tỉ lệ về giá trị đạt được của những loại khoáng sản xuất khẩu nước ngoài.
C. A và B rất nhiều đúng.
D. A và B đông đảo sai.
Xem thêm: Chụp ct và mri là gì - chụp ct và mri khác nhau như thế nào
Câu 29: Biểu vật đoạn thẳng dưới đây biểu diễn lượng mưa trung bình các tháng trong những năm 2019 tại tp Hồ Chí Minh. Những tháng tất cả lượng mưa trên 300mm là
A. tháng 6, 7.
B. tháng 6, 9.
C. tháng 7, 8.
D. tháng 9, 10.
Câu 30: Biểu vật dụng cột kép sau đây biểu diễn diện tích s gieo trồng sắn của Bình Thuận với Bình Phước trong số năm 2018; 2019; 2020 (đơn vị: ngàn ha).
Diện tích nghìn hecta gieo trồng sắn của Bình Thuận trong những năm 2019 là
A. 25,7.
B. 26,4.
C. 10,3.
D. 28.
II. Phần trường đoản cú luậnBài 1. Thực hiện các phép tính:
a) (left( x + 3 ight)left( x - 3 ight)).
b) (frac12xy^2.left( 6xy + frac32x^3y - 1 ight)).
c) (left( 2x - y ight)left( 4x^2 + 2xy + y^2 ight)).
d) (left( 6x^5y^2 - 9x^4y^3 + 15x^3y^4 ight):3x^3y^2).
e) (frac15x7y^3.frac2y^2x^2).
f) (frac30x^311y^2:frac25x121y^5).
g) (frac1y^2 - xy + frac1x^2 - xy).
h) (fracx + 1x - 3 - frac1 - xx + 3 + frac2x - 2x^2x^2 - 9).
Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (3x^3 + 6x^2 + 3x)
b) (x^2 - y^2 - 2x + 2y)
c) (x^2 - 25 + y^2 + 2xy)
d) (x^2left( x - 1 ight) + 16left( 1 - x ight))
e) (8aleft( b - c ight) + 6bleft( c - b ight))
f) (x^2 + 8x + 15)
g) (x^2 - x - 12)
h) (left( x^2 + x ight)^2 + 3left( x^2 + x ight) + 2)
Bài 3. Cho biểu thức: (P = fracx^2x + 1 + frac2left( x - 1 ight)x + fracx + 2x^2 + x)
a) Viết điều kiện xác định của biểu thức P;
b) Rút gọn gàng biểu thức P;
c) Tính cực hiếm của biểu thức phường tại x = 1; x = -1.
Bài 4. Cho biểu thức (M = left( frac2x - 9x^2 - 5x + 6 - fracx + 3x - 2 - frac2x + 13 - x ight):left( 1 - frac1x + 2 ight)) (Với (x e - 1;x e - 2;x e 2;x e 3))
a) Rút gọn gàng M.
b) Tìm các giá trị của x để (M = frac35).
c) Tìm quý hiếm của M biết (left| x - 1 ight| = 3).
d) search x nhằm biểu thức (P = Mleft( x^2 - 9 ight)) đạt giá trị nhỏ dại nhất.
Bài 5. Chứng minh cực hiếm của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến.
a) (A = 2xy + frac12x.left( 2x - 4y + 4 ight) - xleft( x + 2 ight))
b) (B = left( x + 2 ight)^2 - left( x - 3 ight)^2 - 10x)
Bài 6. Thống kê trong lần kiểm tra cuối học tập kì I của lớp 8A vừa mới rồi là:
a) Tính tổng số bài kiểm tra cuối học tập kì I của lớp 8A.
b) Số bài ăn điểm 10 chiếm bao nhiêu tỷ lệ so cùng với tổng số bài kiểm tra cuối học tập kì I của lớp 8A?
Bài 7. Cho biểu trang bị về lượng mưa cùng nhiệt độ trong thời hạn 2022 của Hà Nội
a) Tháng làm sao có ánh nắng mặt trời cao nhất, rẻ nhất? bởi sao lại có sự biệt lập này?
b) mon nào bao gồm lượng mưa các nhất, không nhiều nhất?
c) Em yêu thích tháng làm sao nhất trong thời gian và tháng đó có nhiệt độ và lượng mưa như thế nào?
Bài 8. Biểu trang bị hình quạt tròn sinh sống hình bên màn trình diễn tỉ lệ những yếu tố tác động đến phát triển của cây trồng như: Phân bón; Nước tưới; Giống; kiểm soát dịch hại; điều hành và kiểm soát cỏ dại; nguyên tố khác.
a) cho thấy thêm yếu tố nào tác động đến sinh trưởng của cây cỏ nhiều nhất?
b) trong những yếu tố ảnh hưởng đến phát triển của cây thì yếu tố kiểm soát và điều hành dịch hại gấp mấy lần nguyên tố khác?
Bài 9.
a) Một cây cao 12m mọc cạnh bờ sông. Trên đỉnh cây có một con chim sẽ đậu và sẵn sàng sà xuống bắt bé cá xung quanh nước (như hình 1 cùng được mô bỏng như hình 2). Hỏi bé chim sẽ bay một đoạn ngắn nhất bằng bao nhiêu mét thì bắt được nhỏ cá? (Biết bé cá bí quyết gốc cây 5m với nước cao mấp mé bờ sông)
b) đến tam giác (ABC), con đường cao (AH). Biết (AC = 15) cm, (AH = 12) cm, (BH = 9) cm. Hỏi tam giác (ABC) là tam giác gì?
Bài 10. Một mẫu thang có chiều nhiều năm AB = 3,7m đặt bí quyết một bức tường khoảng tầm cách bh = 1,2m.
a) Tính độ cao AH.
b) khoảng cách đặt thang giải pháp chân tường là bh có “an toàn” không ? Biết rằng khoảng cách “an toàn” khi (2,0 I. Trắc nghiệm
Câu 1. A | Câu 2. A | Câu 3. C | Câu 4. C | Câu 5. C | Câu 6. A |
Câu 7. A | Câu 8. B | Câu 9. B | Câu 10. B | Câu 11. B | Câu 12. D |
Câu 13. C | Câu 14. D | Câu 15. B | Câu 16. C | Câu 17. D | Câu 18. B |
Câu 19. B | Câu 20. A | Câu 21. C | Câu 22. C | Câu 23. B | Câu 24. C |
Câu 25. B | Câu 26. D | Câu 27. A) A b) A | Câu 28. A) A b) A c) A | Câu 29. B | Câu 30. B |
Bài 1. Thực hiện các phép tính:
a) (left( x + 3 ight)left( x - 3 ight)).
b) (frac12xy^2.left( 6xy + frac32x^3y - 1 ight)).
c) (left( 2x - y ight)left( 4x^2 + 2xy + y^2 ight)).
d) (left( 6x^5y^2 - 9x^4y^3 + 15x^3y^4 ight):3x^3y^2).
e) (frac15x7y^3.frac2y^2x^2).
f) (frac30x^311y^2:frac25x121y^5).
g) (frac1y^2 - xy + frac1x^2 - xy).
h) (fracx + 1x - 3 - frac1 - xx + 3 + frac2x - 2x^2x^2 - 9).
Phương pháp
Sử dụng những phép tính với nhiều thức và những hằng đẳng thức đáng nhớ.
Lời giải
a) (left( x + 3 ight)left( x - 3 ight) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9)
b) (frac12xy^2.left( 6xy + frac32x^3y - 1 ight))
(eginarrayl = frac12xy^2.6xy + frac12xy^2.frac32x^3y - frac12xy^2\ = 3x^2y^3 + frac34x^4.y^3 - frac12xy^2endarray)
c) (left( 2x - y ight)left( 4x^2 + 2xy + y^2 ight) = left( 2x ight)^3 - y^3 = 8x^3 - y^3)
d) (left( 6x^5y^2 - 9x^4y^3 + 15x^3y^4 ight):3x^3y^2)
(eginarrayl = 6x^5y^2:3x^3y^2 - 9x^4y^3:3x^3y^2 + 15x^3y^4:3x^3y^2\ = 2x^2 - 3xy + 5y^3endarray)
e) (frac15x7y^3.frac2y^2x^2 = frac15x.2y^27y^3.x^2 = frac30xy^27x^2y^3 = frac307xy)
f) (frac30x^311y^2:frac25x121y^5 = frac30x^311y^2.frac121y^525x) ( = frac5.6.11^2.x^3.y^511.5^2.xy^2 = frac6.11.x^2.y^35 = frac66x^2y^35)
g) (frac1y^2 - xy + frac1x^2 - xy) ( = frac1yleft( y - x ight) + frac1xleft( x - y ight)) ( = fracxxyleft( y - x ight) - fracyxyleft( y - x ight)) ( = fracx - yxyleft( y - x ight) = frac - left( y - x ight)xyleft( y - x ight) = frac - 1xy)
h) (fracx + 1x - 3 - frac1 - xx + 3 + frac2x - 2x^2x^2 - 9)( = fracleft( x + 1 ight)left( x + 3 ight)left( x - 3 ight)left( x + 3 ight) - fracleft( 1 - x ight)left( x - 3 ight)left( x - 3 ight)left( x + 3 ight) + frac2x - 2x^2left( x - 3 ight)left( x + 3 ight))( = fracleft( x + 1 ight)left( x + 3 ight) - left( 1 - x ight)left( x - 3 ight) + 2x - 2x^2left( x - 3 ight)left( x + 3 ight)) ( = fracx^2 + x + 3x + 3 - x + x^2 + 3 - 3x + 2x - 2x^2left( x - 3 ight)left( x + 3 ight)) ( = fracleft( x^2 + x^2 - 2x^2 ight) + left( x + 3x - x - 3x + 2x ight) + left( 3 + 3 ight)left( x - 3 ight)left( x + 3 ight)) ( = frac2x + 6left( x - 3 ight)left( x + 3 ight) = frac2left( x + 3 ight)left( x - 3 ight)left( x + 3 ight) = frac2x - 3)
Bài 2. Phân tích những đa thức sau thành nhân tử:
a) (3x^3 + 6x^2 + 3x)
b) (x^2 - y^2 - 2x + 2y)
c) (x^2 - 25 + y^2 + 2xy)
d) (x^2left( x - 1 ight) + 16left( 1 - x ight))
e) (8aleft( b - c ight) + 6bleft( c - b ight))
f) (x^2 + 8x + 15)
g) (x^2 - x - 12)
h) (left( x^2 + x ight)^2 + 3left( x^2 + x ight) + 2)
Phương pháp
Sử dụng các phương thức phân tích nhiều thức thành nhân tử để phân tích
Lời giải
a) (3x^3 + 6x^2 + 3x)( = 3xleft( x^2 + 2x + 1 ight)) ( = 3xleft( x + 1 ight)^2)
b) (x^2 - y^2 - 2x + 2y)( = left( x - y ight)left( x + y ight) - 2left( x - y ight))( = left( x - y ight)left( x + y - 2 ight))
c) (x^2 - 25 + y^2 + 2xy)( = left( x^2 + 2xy + y^2 ight) - 25)( = left( x + y ight)^2 - 25)( = left( x + y - 5 ight)left( x + y + 5 ight))
d) (x^2left( x - 1 ight) + 16left( 1 - x ight))( = x^2left( x - 1 ight) - 16left( x - 1 ight))( = left( x^2 - 16 ight)left( x - 1 ight))( = left( x - 4 ight)left( x + 4 ight)left( x - 1 ight))
e) (8aleft( b - c ight) + 6bleft( c - b ight))( = 8aleft( b - c ight) - 6bleft( b - c ight))( = left( b - c ight)left( 8a - 6b ight))
f) (x^2 + 8x + 15)( = x^2 + 3x + 5x + 15)( = xleft( x + 3 ight) + 5left( x + 3 ight))( = left( x + 5 ight)left( x + 3 ight))
g) (x^2 - x - 12)( = x^2 - 4x + 3x - 12)( = xleft( x - 4 ight) + 3left( x - 4 ight))( = left( x + 3 ight)left( x - 4 ight))
h) (left( x^2 + x ight)^2 + 3left( x^2 + x ight) + 2)( = left( x^2 + x ight)^2 + left( x^2 + x ight) + 2left( x^2 + x ight) + 2)( = left( x^2 + x ight)left( x^2 + x + 1 ight) + 2left( x^2 + x + 1 ight))( = left( x^2 + x + 1 ight)left( x^2 + x + 2 ight))
Bài 3. Cho biểu thức: (P = fracx^2x + 1 + frac2left( x - 1 ight)x + fracx + 2x^2 + x)
a) Viết điều kiện khẳng định của biểu thức P;
b) Rút gọn gàng biểu thức P;
c) Tính quý hiếm của biểu thức p tại x = 1; x = -1.
Phương pháp
a) Để phân thức khẳng định thì mẫu thức buộc phải khác 0.
b) áp dụng các đặc thù và phép tính của phân thức nhằm rút gọn biểu thức.
c) thế x = 1, x = -1 vào biểu thức đã rút gọn để tính P.
Lời giải
a) Để biểu thức P xác minh thì các phân thức trong p phải xác định.
Phân thức (fracx^2x + 1) xác định ( Leftrightarrow x + 1 e 0) giỏi (x e - 1).
Phân thức (frac2left( x - 1 ight)x) xác định ( Leftrightarrow x e 0).
Phân thức (fracx + 2x^2 + x) xác định ( Leftrightarrow x^2 + x e 0 Leftrightarrow xleft( x + 1 ight) e 0) xuất xắc (x e 0) với (x e - 1).
Vậy điều kiện xác định của biểu thức p. Là (x otin left - 1;0 ight\).
b) Ta có:
(eginarraylP = fracx^2x + 1 + frac2left( x - 1 ight)x + fracx + 2x^2 + x\ = fracx^2x + 1 + frac2left( x - 1 ight)x + fracx + 2xleft( x + 1 ight)\ = fracx^3xleft( x + 1 ight) + frac2left( x - 1 ight)left( x + 1 ight)xleft( x + 1 ight) + fracx + 2xleft( x + 1 ight)\ = fracx^3 + 2left( x - 1 ight)left( x + 1 ight) + x + 2xleft( x + 1 ight)\ = fracx^3 + 2left( x^2 - 1 ight) + x + 2xleft( x + 1 ight)\ = fracx^3 + 2x^2 - 2 + x + 2xleft( x + 1 ight)\ = fracx^3 + 2x^2 + xxleft( x + 1 ight)\ = fracxleft( x^2 + 2x + 1 ight)xleft( x + 1 ight)\ = fracxleft( x + 1 ight)^2xleft( x + 1 ight)\ = x + 1endarray)
c) tại x = 1, ta có: (P = 1 + 1 = 2)
Tại x = -1, ta có: (P = - 1 + 1 = 0)
Bài 4. Cho biểu thức (M = left( frac2x - 9x^2 - 5x + 6 - fracx + 3x - 2 - frac2x + 13 - x ight):left( 1 - frac1x + 2 ight)) (Với (x e - 1;x e - 2;x e 2;x e 3))
a) Rút gọn M.
b) Tìm những giá trị của x nhằm (M = frac35).
c) Tìm quý hiếm của M biết (left| x - 1 ight| = 3).
d) tìm kiếm x nhằm biểu thức (P = Mleft( x^2 - 9 ight)) đạt giá bán trị nhỏ nhất.
Phương pháp
a) áp dụng các đặc thù và phép tính của phân thức để rút gọn biểu thức.
b) gắng (M = frac35) nhằm tìm x.
c) tìm x, ráng giá trị của x vào M nhằm tính cực hiếm của M.
d) Tính P. đổi khác P thành dạng (P = a^2 + b), giá chỉ trị nhỏ nhất của phường là b.
Lời giải
a) Ta có:
(M = left( frac2x - 9x^2 - 5x + 6 - fracx + 3x - 2 - frac2x + 13 - x ight):left( 1 - frac1x + 2 ight))(Với (x e - 1;x e - 2;x e 2;x e 3))
(eginarrayl = left< frac2x - 9left( x - 2 ight)left( x - 3 ight) - fracx + 3x - 2 + frac2x + 1x - 3 ight>:fracx + 2 - 1x + 2\ = left< frac2x - 9left( x - 2 ight)left( x + 3 ight) - fracleft( x + 3 ight)left( x - 3 ight)left( x - 2 ight)left( x - 3 ight) + fracleft( 2x + 1 ight)left( x - 2 ight)left( x - 2 ight)left( x - 3 ight) ight>:fracx + 1x + 2\ = frac2x - 9 - x^2 + 9 + 2x^2 + x - 4x - 2left( x - 2 ight)left( x - 3 ight).fracx + 2x + 1\ = fracx^2 - x - 2left( x - 2 ight)left( x - 3 ight).fracx + 2x + 1\ = fracleft( x - 2 ight)left( x + 1 ight)left( x + 2 ight)left( x - 2 ight)left( x - 3 ight)left( x + 1 ight)\ = fracx + 2x - 3endarray)
b) chũm (M = frac35), ta có:
(eginarraylfracx + 2x - 3 = frac35 Leftrightarrow 5left( x + 2 ight) = 3left( x - 3 ight)\ Leftrightarrow 5x + 10 = 3x - 9\ Leftrightarrow 2x = - 19\ Leftrightarrow x = frac - 192endarray)
Vậy (x = frac - 192) thì (M = frac35).
c) Ta có: (left| x - 1 ight| = 3)( Leftrightarrow x - 1 = 3) hoặc (x - 1 = - 3).
TH1. x – 1 = 3 ( Leftrightarrow ) x = 4
Thay x = 4 vào M, ta được: (M = frac4 + 24 - 3 = frac61 = 6).
TH2. x – 1 = -3 ( Leftrightarrow ) x = -2
Thay x = -2 vào M, ta được: (M = frac - 2 + 2 - 2 - 3 = frac0 - 5 = 0).
d) Ta có: (P = Mleft( x^2 - 9 ight))
(eginarrayl = fracx + 2x - 3left( x - 3 ight)left( x + 3 ight)\ = left( x + 2 ight)left( x + 3 ight)\ = x^2 + 5x + 6\ = left( x^2 + 2.frac52x + frac254 ight) - frac14\ = left( x + frac52 ight)^2 - frac14 ge - frac14,,forall x in mathbbRendarray)
Dấu “=” xẩy ra ( Leftrightarrow x + frac52 = 0 Leftrightarrow x = frac - 52).
Vậy giá trị bé dại nhất của phường là (frac - 14) khi (x = frac - 52).
Bài 5. Chứng minh cực hiếm của mỗi biểu thức sau không dựa vào vào cực hiếm của biến.
a) (A = 2xy + frac12x.left( 2x - 4y + 4 ight) - xleft( x + 2 ight))
b) (B = left( x + 2 ight)^2 - left( x - 3 ight)^2 - 10x)
Phương pháp
Sử dụng những phép tính với nhiều thức và các hằng đẳng thức đáng nhớ biến đổi biểu thức sao cho không hề ẩn.
Lời giải
a) (A = 2xy + frac12x.left( 2x - 4y + 4 ight) - xleft( x + 2 ight))
(eginarraylA = 2xy + x^2 - 2xy + 2x - x^2 - 2x\A = left( 2xy - 2xy ight) + left( x^2 - x^2 ight) + left( 2x - 2x ight)\A = 0endarray)
Vì A = 0 phải A không phụ thuộc vào vào thay đổi x, y.
b) (B = left( x + 2 ight)^2 - left( x - 3 ight)^2 - 10x)
(eginarraylB = left( x + 2 - x + 3 ight)left( x + 2 + x - 3 ight) - 10x\B = 5left( 2x - 1 ight) - 10x\B = 10x - 5 - 10x\B = - 5endarray)
Vì B = -5 yêu cầu B không phụ thuộc vào phát triển thành x, y.
Bài 6. Thống kê trong lần kiểm tra cuối học kì I của lớp 8A vừa qua là:
a) Tính tổng số bài kiểm tra cuối học tập kì I của lớp 8A.
b) Số bài ăn điểm 10 chiếm phần bao nhiêu phần trăm so với tổng số bài bác kiểm tra cuối học tập kì I của lớp 8A?
Phương pháp
a) Tính tổng cộng bài.
b) Tính số phần trăm bài được điểm 10 = số bài ăn điểm 10 : tổng số bài . 100
Lời giải
a) Tổng số bài bác kiểm tra cuối học kì I của lớp 8A là:
6 + 7 + 6 + 7 + 4 + 7 + 5 = 42 (bài)
Vậy lớp 8A bao gồm 42 bài xích kiểm tra cuối học kì I.
b) Số bài lấy điểm 10 chiếm số tỷ lệ là:
(frac542.100\% approx 12\% )
Vậy số bài ăn điểm 10 chiếm khoảng tầm 12% so với tổng số bài xích kiểm tra cuối học kì I của lớp 8A.
Bài 7. Cho biểu đồ dùng về lượng mưa với nhiệt độ trong năm 2022 của Hà Nội
a) Tháng như thế nào có nhiệt độ cao nhất, phải chăng nhất? bởi vì sao lại có sự khác biệt này?
b) tháng nào gồm lượng mưa nhiều nhất, không nhiều nhất?
c) Em đam mê tháng như thế nào nhất trong năm và tháng đó có nhiệt độ và lượng mưa như vậy nào?
Phương pháp
Quan sát biểu đồ để trả lời.
Lời giải
a) Quan sát biểu đồ, ta thấy:
- Tháng tất cả nhiệt độ tối đa là tháng 7 (28,90C).
- mon có ánh sáng thấp duy nhất là tháng 1 (16,40C).
Sự khác biệt về nhiệt độ này có vì tp hà nội nằm ngơi nghỉ miền Bắc, gồm sự chuyển đổi thời tiết ví dụ mùa nóng với mùa lạnh.
b) Quan giáp biểu đồ, ta thấy:
- Tháng có lượng mưa những nhất là tháng 8 (318,0mm)
- Tháng có lượng mưa tối thiểu là tháng 1 (18,6mm)
c) Học sinh tự sàng lọc tháng mình muốn và liệt kê ánh sáng và lượng mưa của tháng đó.
Bài 8. Biểu đồ dùng hình quạt tròn sinh sống hình bên màn biểu diễn tỉ lệ các yếu tố tác động đến phát triển của cây cỏ như: Phân bón; Nước tưới; Giống; kiểm soát điều hành dịch hại; kiểm soát điều hành cỏ dại; nguyên tố khác.
a) cho thấy yếu tố nào tác động đến phát triển của cây cỏ nhiều nhất?
b) trong số yếu tố ảnh hưởng đến sinh trưởng của cây thì yếu đuối tố kiểm soát dịch hại vội vàng mấy lần nhân tố khác?
Phương pháp
Quan tiếp giáp biểu đồ để trả lời.
Lời giải
a) Quan tiếp giáp biểu đồ, ta thấy yếu hèn tố ảnh hưởng đến sinh trưởng của cây trồng nhiều duy nhất là phân bón (34%).
b) Ta có tỉ lệ phần trăm của yếu ớt tố kiểm soát dịch sợ là 12%.
Tỉ lệ xác suất của yếu ớt tố khác là 4%.
Yếu tố kiểm soát dịch hại vội vàng yếu tố không giống là: (frac12\% 4\% = 3) (lần)
Bài 9.
a) Một cây cao 12m mọc cạnh bờ sông. Trên đỉnh cây có một bé chim đang đậu và sẵn sàng sà xuống bắt nhỏ cá trên mặt nước (như hình 1 và được mô bỏng như hình 2). Hỏi con chim sẽ bay một đoạn ngắn nhất bằng bao nhiêu mét thì bắt được con cá? (Biết con cá bí quyết gốc cây 5m và nước cao mấp mé bờ sông)
b) mang lại tam giác (ABC), đường cao (AH). Biết (AC = 15) cm, (AH = 12) cm, (BH = 9) cm. Hỏi tam giác (ABC) là tam giác gì?
Phương pháp
a) Áp dụng định lí Pythagore để tính.
b) Áp dụng định lí Pythagore nhằm tính các cạnh và xác minh loại tam giác.
Lời giải
a) Để nhỏ chim cất cánh một đoạn ngắn tốt nhất bắt được nhỏ cá thì nhỏ chim bắt buộc bay một khoảng tầm bằng với đoạn trực tiếp BC.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:
(eginarraylBC^2 = AB^2 + AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\ Rightarrow BC = 13left( m ight)endarray)
Vậy nhỏ chim sẽ bay một đoạn ngắn nhất bởi 13 mét thì bắt được nhỏ cá.
b)
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABH, ta có:
(eginarraylAB^2 = AH^2 + BH^2 = 12^2 + 9^2 = 225\ Rightarrow AB = sqrt 225 = 15left( cm ight)endarray)
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ACH, ta có:
(eginarraylCH^2 = AC^2 - AH^2 = 15^2 - 12^2 = 81\ Rightarrow CH = sqrt 81 = 9left( cm ight)endarray)
Suy ra BC = 9 + 9 = 18 (cm).
Vì AB = AC = 15 đề nghị tam giác ABC cân tại A.
Vì (AB^2 + AC^2 = 15^2 + 15^2 = left( 15sqrt 2 ight)^2 e 18^2 = BC^2) buộc phải tam giác ABC không vuông (theo định lí Pythagore đảo).
Vậy tam giác ABC cân tại A.
Bài 10. Một cái thang tất cả chiều nhiều năm AB = 3,7m đặt phương pháp một bức tường khoảng chừng cách bảo hành = 1,2m.
a) Tính chiều cao AH.
b) khoảng cách đặt thang bí quyết chân tường là bh có “an toàn” không ? Biết rằng khoảng cách “an toàn” lúc (2,0 2,2). Vì đó khoảng cách đặt thang phương pháp chân tường là bảo hành không “an toàn”.
Bài 11. Cho hình bình hành ABCD tất cả AC vuông góc với AD. điện thoại tư vấn E, F theo đồ vật tự là trung điểm của những cạnh AB, CD.
a) chứng tỏ AF = FC.
b) minh chứng tứ giác AECF là hình thoi.
c) chứng minh AC, BD, EF đồng quy.
Phương pháp
a) Sử dụng tính chất của mặt đường trung con đường ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông ACD để chứng minh.
b) minh chứng AECF bao gồm cặp cạnh đối tuy nhiên song và đều bằng nhau nên là hình bình hành.
Mà AF = FC (hai cạnh kề bằng nhau) phải AECF là hình thoi.
c) chứng tỏ giao điểm của AC cùng EF trùng cùng với giao điểm của AC cùng BD.
Lời giải
a) Ta gồm ABCD là hình bình hành buộc phải AD // BC, AB // CD, AD = BC cùng AB = CD.
Xét tam giác ACD có AC vuông góc cùng với AD đề xuất tam giác ACD vuông tại A.
F là trung điểm của CD buộc phải AF là đường trung con đường ứng cùng với cạnh huyền CD của tam giác ACD.
Do kia (AF = frac12CD = CF) (F là trung điểm của CD) (đpcm)
b) Ta bao gồm AB // CD phải AE // CF (E ( in ) AB, F ( in ) CD)
AE = (frac12) AB (E là trung điểm của AB)
CF = (frac12)CD (F là trung điểm của CD)
Mà AB = CD (cmt)
( Rightarrow ) AE = CF.
Xét tứ giác ABCD có: AE // CF (cmt), AE = CF (cmt) nên tứ giác AECF là hình bình hành.
Mà AF = CF (cmt) => AECF là hình thoi (hình bình hành tất cả hai cạnh kề đều bằng nhau là hình thoi) (đpcm).
c) call O là giao điểm của AC cùng EF, khi ấy O là trung điểm của AC.
Vì ABCD là hình bình hành cần giao điểm của AC với BD là trung điểm của AC cùng BD.
Mà O là trung điểm của AC (cmt) buộc phải O là giao điểm của AC và BD.
Mà O là giao điểm của AC với BD.
Vậy AC, BD cùng EF đồng quy tại điểm O (đpcm).
Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại C. Hotline D là trung điểm của AB, Kẻ DM vuông góc cùng với AC (M ( in ) AC). Call E là điểm đối xứng với D qua BC, DE giảm BC trên N.
a) chứng tỏ tứ giác CMDN là hình chữ nhật.
b) Tứ giác BDCE là hình gì? bởi sao?
c) chứng tỏ (S_Delta ABC = 2S_CMDN).
d) Tam giác ABC cần có thêm đk gì nhằm tứ giác ABEC là hình thang cân?
Phương pháp
a) chứng tỏ tứ giác CMDN gồm 3 góc vuông.
b) chứng minh BDCE là hình bình hành bao gồm hai đường chéo vuông góc cùng với nhau.
c) thực hiện công thức tính diện tích tam giác và ăn diện tích hình chữ nhật để bệnh minh.
d) nhờ vào tính chất của hình thang cân để suy ra điều kiện cần của tam giác ABC để ABEC là hình thang cân.
Lời giải
a) Ta có DM vuông góc với AC bắt buộc (widehat M = 90^0).
Ta tất cả E là vấn đề đối xứng cùng với D qua BC bắt buộc (DE ot BC) trên N suy ra (widehat N = 90^0).
Xét tứ giác CMDN có:
(eginarraylwidehat C = 90^0left( gt ight)\widehat M = 90^0left( cmt ight)\widehat N = 90^0left( cmt ight)endarray)
=> CMDN là hình chữ nhật (đpcm)
=> cm // DN, cm = doanh nghiệp (hai cạnh đối tương ứng)
b) Xét tứ giác ADEC có:
AC // doanh nghiệp (vì centimet // DN)
AC = doanh nghiệp (vì (frac12)AC = cm = dn = (frac12)DE)
=> ADEC là hình bình hành => AD // CE và AD = CE.
Mà AD = DB (D là trung điểm của AB)
=> CE = DB
Xét tứ giác BDCE có:
DB // CE (do AD // CE)
DB = CE (cmt)
=> BDCE là hình bình hành.
=> Giao điểm của DE và BC là trung điểm của từng đường.
Mà (DE ot BC) => BDCE là hình thoi (đpcm).
c) Ta có: (S_ABC = frac12.AC.BC), (S_CMDN = CM.CN = frac12AC.frac12BC = frac14AC.BC)
( Rightarrow fracS_ABCS_CMDN = fracfrac12AC.BCfrac14AC.BC = 2 Rightarrow S_ABC = 2S_CMDN) (đpcm)
d) Ta có AB // CE phải ABEC là hình thang.
Để ABEC là hình thang cân nặng thì AC = BE.
Mà BE = BD = AD => AC = AD = DC
=> Tam giác ACD các suy ra (widehat A = 60^0).
Vậy tam giác ABC đề nghị vuông trên C và có (widehat A = 60^0) thì ABEC là hình thang cân.
Bài 13. Cho tam giác MNP vuông cân tại M. Call Q là vấn đề đối xứng của M qua NP.
a) chứng tỏ rằng tứ giác MNQP là hình vuông;
b) trên tia đối của những tia PQ và MP lần lượt rước điểm A cùng B sao để cho QA = MB. Chứng minh rằng tam giác BNA là tam giác vuông cân.
c) hotline I là trung điểm của AB. Minh chứng tam giác IPN là tam giác cân.
d) minh chứng 3 điểm Q, M, I trực tiếp hàng.
Phương pháp
a) chứng minh MNQP bao gồm hai đường chéo cánh cắt nhau tại trung điểm của từng đường yêu cầu MNQP là hình bình hành.
Hình bình hành MNQP tất cả hai cạnh kề đều nhau nên là hình thoi.
Hình thoi MNQP gồm một góc vuông bắt buộc là hình vuông.
b) chứng minh (Delta ANQ = Delta BNM Rightarrow AN = BN) và minh chứng (widehat N = 90^0) suy ra tam giác BNA vuông cân tại N.
c) phụ thuộc vào tính chất của đường trung con đường ứng với cạnh huyền vào tam giác vuông để chứng tỏ IN = IP.
d) minh chứng IO cùng MQ hồ hết là con đường trung trực của NP bắt buộc Q, M, I thẳng hàng.
Lời giải
a) gọi O là giao điểm của MQ với NP.
Ta có Q là vấn đề đối xứng với M qua NP đề xuất MQ ( ot ) NP trên O và MO = OQ tốt O là trung điểm của MQ.
Xét tam giác MNP vuông cân tại M gồm MO là đường cao (MO ( ot ) NP), ta bao gồm MO mặt khác là mặt đường trung con đường ứng với cạnh huyền của tam giác MNP đề xuất MO = NO = OP giỏi O là trung điểm của NP.
Xét tứ giác MNQP có:
O là giao điểm của nhì đường chéo NP cùng MQ
O là trung điểm của MQ và O là trung điểm của NP
=> MNQP là hình bình hành.
MN = MP (tam giác MNP vuông cân tại M)
=> MNQP là hình thoi.
(widehat M = 90^0) nên MNQP là hình vuông.
b) Xét tam giác ANQ và tam giác BNM có:
MN = NQ (hai cạnh hình vuông)
(widehat Q = widehat M = 90^0)(MNQP là hình vuông)
QA = MB (gt)
( Rightarrow Delta ANQ = Delta BNM) (c.g.c)
( Rightarrow AN = BN) (hai cạnh tương ứng)
(widehat B_1 = widehat A_1)(hai góc tương ứng)
Suy ra tam giác ABN cân nặng tại N (1)
Xét tam giác BMN bao gồm (widehat M = 90^0) đề xuất (widehat B_1 + widehat BNM = 90^0).
Ta tất cả MN // AQ (do MN // PQ) cần (widehat MNA = widehat A_1) (hai góc so le trong)
Mà (widehat A_1 = widehat B_1) (cmt)
( Rightarrow widehat BNM + widehat MNA = 90^0) tốt (widehat ANB = 90^0) suy ra tam giác ANB là tam giác vuông (2)
Từ (1) cùng (2) suy ra tam giác ANB vuông cân nặng tại N (đpcm)
c) Xét tam giác ANB vuông cân nặng tại N có I là trung điểm của AB bắt buộc NI là mặt đường trung tuyến đường của tam giác ANB ( Rightarrow NI = frac12AB).
Xét tam giác APB có (widehat p. = 90^0) phải tam giác APB là tam giác vuông trên P, I là trung điểm của AB đề xuất PI là đường trung tuyến đường ứng với cạnh huyền của tam giác APB ( Rightarrow PI = frac12AB).
Do kia NI = PI ( = (frac12)AB)
Suy ra tam giác PIN cân nặng tại I. (đpcm)
d) Ta bao gồm MQ vuông góc cùng với NP và đi qua trung điểm của NP đề nghị MQ là đường trung trực của NP.
Tam giác PIN cân nặng tại I, O là trung điểm của NP phải IO là con đường trung trực của NP.
=> (IO equiv MQ) giỏi I, M, Q thẳng sản phẩm (đpcm)
Bài 14*.
a) Tính GTNN của biểu thức (B = x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 2xy + 2xz - 2x - 2y - 8z + 2000).
b) Tính GTLN của biểu thức (N = frac2x^2 + 4x + 10x^2 + 2x + 3).
Phương pháp
Sử dụng hằng đẳng thức lưu niệm nâng cao.
Lời giải
a) Ta có:
(eginarraylB = x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 2xy + 2xz - 2x - 2y - 8z + 2000\ = left( x^2 + y^2 + z^2 + 1 + 2z - 2y - 2z - 2xy + 2xz - 2yz ight) + left( y^2 + z^2 + 4 + 2yz - 2y - 4z ight) + left( z^2 - 2z + 1 ight) + 1996\ = left( x + y + z - 1 ight)^2 + left( y + z - 2 ight)^2 + left( z - 1 ight)^2 + 1996 ge 1996,,forall x,y,zendarray)
vì (left{ eginarraylleft( x - y + z - 1 ight)^2 ge 0,,forall x,y,z\left( y + z - 2 ight)^2 ge 0,forall y,z\left( z - 1 ight)^2 ge 0,forall zendarray ight.)
Dấu “=” xẩy ra ( Leftrightarrow left{ eginarraylleft( x - y + z - 1 ight)^2 = 0\left( y + z - 2 ight)^2 = 0\left( z - 1 ight)^2 = 0endarray ight.)
(eginarrayl Leftrightarrow left{ eginarraylx - y + z = 1\y + z = 2\z = 1endarray ight.\ Leftrightarrow left{ eginarraylx - y + 1 = 1\y + 1 = 2\z = 1endarray ight.\ Leftrightarrow left{ eginarraylx = 1\y = 1\z = 1endarray ight.endarray)
Vậy Min
B = 1996 khi x = 1; y = 1; z = 1.
b) Tính GTLN của biểu thức (N = frac2x^2 + 4x + 10x^2 + 2x + 3).
Bài 15*. Cho a + b = 1. Tính quý giá của biểu thức sau:
(M = a^3 + b^3 + 3ableft( a^2 + b^2 ight) + 6a^2b^2left( a + b ight)).
Phương pháp
Biến thay đổi biểu thức thành biểu thức đựng a + b nhằm rút gọn.
Lời giải
Ta có:
Thay a + b = 1 và đổi khác M, ta được:
(M = a^3 + b^3 + 3ableft( a^2 + b^2 ight) + 6a^2b^2left( a + b ight))
(eginarrayl = left( a + b ight)left( a^2 - ab + b^2 ight) + 3ableft( a^2 + b^2 ight) + 6a^2b^2.1\ = a^2 - ab + b^2 + 3ableft( a^2 + b^2 ight) + 6a^2b^2\ = a^2 + b^2 - ab + 3ableft( a^2 + b^2 + 2ab ight)\ = a^2 + b^2 - ab + 3ableft( a + b ight)^2\ = a^2 + b^2 - ab + 3ab\ = a^2 + b^2 + 2ab\ = left( a + b ight)^2 = 1endarray)
